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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
En cada caso, hallen una base de la imagen $T(S)$ del subespacio $S$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -1 & -3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}-x_{2}=0\right\}$.
a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -1 & -3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}-x_{2}=0\right\}$.
Respuesta
Lo primero que hacemos es pasar $S$ a generadores
Reportar problema
$S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}-x_{2}=0\right\}$
En este caso nos queda que
$S = \langle (1,1) \rangle$
Sabemos que $T(S)$, que es lo que nos pide el enunciado, implica aplicarle $T$ a cada uno de los generadores de $S$, es decir...
$T(S) = \langle T(1,1) \rangle$
Usando la matriz que nos dan de $T$ obtenemos $T(1,1)$
$\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -1 & -3\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$
Con lo cual, tenemos que...
$T(S) = \langle (4,-4) \rangle$
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